Mathematik für Naturwissenschaftler und Chemiker

InhaltsangabeErster Teil. Funktionen einer Veränderlichen.- Differentialrechnung.- Funktionsbegriff, Grenzwert, Differentialquotient.- Begriff der Funktion 1. - Darstellung der Funktionen durch eine Tabelle 2. - Bezeichnungen, Formeln 3. - Weiteres über Funktionen: Zunehmende und abnehmende Funktionen; Maximum und Minimum; Starke und schwache Funktionen 4. - Proportionalität 4. - Beispiele für Proportionalität: Geschwindigkeit; Dichte; Kapazität; Leitfähigkeit 6. - Diagramme 6. - Proportionalität im Diagramm 7. - Die lineare Funktion und die Differenzenquotienten 9. - Beispiele für lineare Funktionen: Gesetz von Gay-Lussac; Geschwindigkeit 11. - Versuch der Berechnung der Geschwindigkeit einer ungleichmäßigen Bewegung 12. - Die momentane Geschwindigkeit 14. - Ein mathematisches Bedenken 15. - Nochmalige Berechnung der Momentangeschwindigkeit 16. - Kritik des vorigen Resultates 18. - Begriff des Grenzwertes 19. - Beispiele für den Grenzwert: Vieleck; Reihen 19. - Definition des Grenzwertes 20. - $$mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{sin { ext{ }}x}}{x} = 1$$ 21.- Der Differentialquotient 22. - Geometrische Bedeutung des Differentialquotienten. Steigung der Tangente an einer Kurve 23. - Die Geschwindigkeit. Bemerkungen über das unendlich Kleine 24. - Weitere Beispiele für den Differentialquotienten: linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient; Molwärme; Beschleunigung; Dampfspannung; Reaktionsgeschwindigkeit 25.- Einfachste Anwendungen.- Die Differentialquotienten von x2, ax2, cf(x), (cx + b), einer Summe, einer Konstanten, von x3, $$sqrt x ,frac{1}{2}$$ 27.- Übungsbeispiele: Flächeninhalt des Kreises, des Kreisringes; Volum der Kugel; Differentiationen 33. - Umgekehrte Proportionalität 34. - Extremwerte 35. - Beispiele für Extremwerte: Volum des Quaders, des Zylinders, des oben offenen Zylinders; f(x) = 3 x ? x2; das Ionenminimum des Wassers; Umfang des Rechteckes; Wurf nach aufwärts 37. - Differenzieren nach einer Zwischenfunktion (Kettenregel) 40. - Die Lichtbrechung 42.- Differentiation algebraischer Funktionen.- Definition. Die Potenzfunktion. Herleitung von $$frac{{d{x^n}}}{{dx}} = n{ ext{ }}{x^{n - 1}}$$ 44. - Beispiele: Differentiationen; Schluß vom Differentialquotienten auf die Funktion; Berechnung des Weges aus der Geschwindigkeit bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung; Arbeit beim Dehnen einer Feder; Berechnung der energiereichsten Wellenlänge im kontinuierlichen Röntgenspektrum 45. - Der Differentialquotient eines Produktes von Funktionen 48. - Beispiele: Differentiationen; Maximale Beleuchtungsstärke 48. - Erweiterung der Produktenregel 50. - Differentialquotient eines Bruches; Beispiele 51. - Einteilung der Funktionen 52.- Differentiation von Logarithmus, Exponentialfunktion und Winkelfunktionen.- Der Differentialquotient des Logarithmus 52. - Beispiele: Differentiationen; das logarithmische Differenzieren; Schluß auf die ursprüngliche Funktion; Arbeit bei der isothermen Gaskompression 54. - Differentialquotient der Exponentialfunktion 57. - Beispiele: Differentiationen.; Differentiation der Dampfdruckformel; Abklingen einer radioaktiven Substanz; Absorption von Wellenstrahlung; Verifikation der Formel für das Ansteigen eines Stromes auf seinen Onmschen Wert bei Anwesenheit von Selbstinduktion 58. - Berechnung der Differentialquotienten der Winkelfunktionen; Diskussion der Resultate an Schaubildern 61. - Beispiele: Differentiationen; die harmonische Schwingung 63. - Graphische Differentiation von sin x und cos x 65.- Differentiale und ihre Anwendung.- Definition 66. - Formeln für Differentiale 67. - Beispiele: Schluß vom Differential auf die Funktion 69. - Naturwissenschaftliche Anwendungen; Allgemeines 69. - Beispiele: Berechnung der Arbeit; Elektrisches Potential; Kompressionsarbeit; Lichtabsorption; Zerfall einer radioaktiven Substanz; Hypsometrische Formel 70. - Allgemeines über die exponentielle Abhängigkeit 73. - Beziehungen zwischen Differentialen als Näherungsformeln 75. - Rechnungsregeln mit kleine

Erster Teil. Funktionen einer Veränderlichen.- Differentialrechnung.- Funktionsbegriff, Grenzwert, Differentialquotient.- Begriff der Funktion 1. - Darstellung der Funktionen durch eine Tabelle 2. - Bezeichnungen, Formeln 3. - Weiteres über Funktionen: Zunehmende und abnehmende Funktionen; Maximum und Minimum; Starke und schwache Funktionen 4. - Proportionalität 4. - Beispiele für Proportionalität: Geschwindigkeit; Dichte; Kapazität; Leitfähigkeit 6. - Diagramme 6. - Proportionalität im Diagramm 7. - Die lineare Funktion und die Differenzenquotienten 9. - Beispiele für lineare Funktionen: Gesetz von Gay-Lussac; Geschwindigkeit 11. - Versuch der Berechnung der Geschwindigkeit einer ungleichmäßigen Bewegung 12. - Die momentane Geschwindigkeit 14. - Ein mathematisches Bedenken 15. - Nochmalige Berechnung der Momentangeschwindigkeit 16. - Kritik des vorigen Resultates 18. - Begriff des Grenzwertes 19. - Beispiele für den Grenzwert: Vieleck; Reihen 19. - Definition des Grenzwertes 20. - $$mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sin {text{ }}x}}{x} = 1$$ 21.- Der Differentialquotient 22. - Geometrische Bedeutung des Differentialquotienten. Steigung der Tangente an einer Kurve 23. - Die Geschwindigkeit. Bemerkungen über das unendlich Kleine 24. - Weitere Beispiele für den Differentialquotienten: linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient; Molwärme; Beschleunigung; Dampfspannung; Reaktionsgeschwindigkeit 25..- Einfachste Anwendungen.- Die Differentialquotienten von x2, ax2, cf(x), (cx + b), einer Summe, einer Konstanten, von x3, $$sqrt x ,frac{1}{2}$$ 27.- Übungsbeispiele: Flächeninhalt des Kreises, des Kreisringes; Volum der Kugel; Differentiationen 33. - Umgekehrte Proportionalität 34. - Extremwerte 35. - Beispiele für Extremwerte: Volum des Quaders, des Zylinders, des oben offenen Zylinders; f(x) = 3 x ? x2; das Ionenminimum des Wassers; Umfang des Rechteckes; Wurf nach aufwärts 37. - Differenzieren nach einer Zwischenfunktion (Kettenregel) 40. - Die Lichtbrechung 42..- Differentiation algebraischer Funktionen.- Definition. Die Potenzfunktion. Herleitung von $$frac{{d{x^n}}}{{dx}} = n{text{ }}{x^{n - 1}}$$ 44. - Beispiele: Differentiationen; Schluß vom Differentialquotienten auf die Funktion; Berechnung des Weges aus der Geschwindigkeit bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung; Arbeit beim Dehnen einer Feder; Berechnung der energiereichsten Wellenlänge im kontinuierlichen Röntgenspektrum 45. - Der Differentialquotient eines Produktes von Funktionen 48. - Beispiele: Differentiationen; Maximale Beleuchtungsstärke 48. - Erweiterung der Produktenregel 50. - Differentialquotient eines Bruches; Beispiele 51. - Einteilung der Funktionen 52..- Differentiation von Logarithmus, Exponentialfunktion und Winkelfunktionen.- Der Differentialquotient des Logarithmus 52. - Beispiele: Differentiationen; das logarithmische Differenzieren; Schluß auf die ursprüngliche Funktion; Arbeit bei der isothermen Gaskompression 54. - Differentialquotient der Exponentialfunktion 57. - Beispiele: Differentiationen.; Differentiation der Dampfdruckformel; Abklingen einer radioaktiven Substanz; Absorption von Wellenstrahlung; Verifikation der Formel für das Ansteigen eines Stromes auf seinen Onmschen Wert bei Anwesenheit von Selbstinduktion 58. - Berechnung der Differentialquotienten der Winkelfunktionen; Diskussion der Resultate an Schaubildern 61. - Beispiele: Differentiationen; die harmonische Schwingung 63. - Graphische Differentiation von sin x und cos x 65..- Differentiale und ihre Anwendung.- Definition 66. - Formeln für Differentiale 67. - Beispiele: Schluß vom Differential auf die Funktion 69. - Naturwissenschaftliche Anwendungen; Allgemeines 69. - Beispiele: Berechnung der Arbeit; Elektrisches Potential; Kompressionsarbeit; Lichtabsorption; Zerfall einer radioaktiven Substanz; Hypsometrische Formel 70. - Allgemeines über die exponentielle Abhängigkeit 73. - Beziehungen zwischen Differentialen als Näherungsformeln 75. - Rechnungsregeln mit kleinen Größen 76..- Die höheren Differentialquotienten.- Definition 77. - Beispiele: Die Differentialgleichung zweiter Ordnung; Elastische Schwingungen 78. - Geometrische Bedeutung des zweiten Differentialquotienten; Theorie der Extremwerte; Wendepunkte 79. - Zusammenfassendes Beispiel für die geometrische Bedeutung des ersten und zweiten Differentialquotienten 82..- Differentiation der Kreisfunktionen.- Integralrechnung.- Das unbestimmte Integral.- Definition, Integrationskonstante 85: - Allgemeine Formeln 86. - Beispiele 87. - Grundformeln der Integralrechnung 87. - Beispiele: Integrationen; Isotherme Gaskompression; Radioaktiver Zerfall; Absorptionsgesetz; Barometerformel; Arbeit beim Spannen einer Feder; das elektrische Potential; Kinetische Energie; Adiabate Gaskompression 89. - Einführung einer neuen Veränderlichen (Substitutionsmethode) 93. - Integration der Differentialgleichung der unimolekularen Reaktion 95. - Beispiele zur Substitutionsmethode 96. - Die bimolekulare vollständig verlaufende Reaktion mit gleichen Anfangskonzentrationen 97. - Integration der Differentialgleichung $$ frac{{dy}}{{dx}} = {a^ - } - by$$ 98.- Naturwissenschaftliche Anwendungen von $$frac{{dy}}{{dx}} = a - by$$ (a, b konst.): Nacherzeugung radioaktiver Substanz aus der Muttersubstanz; Ansteigen eines elektrischen Stromes beim Anlegen konstanter Spannung an einen Widerstand mit Selbstinduktion; Fall im widerstehenden Mittel; Rohreite zuckerinversion 99. - Die Methode der teilweisen Integration 101. - Beispiele 102. - Integration durch Partialbruchzerlegung. Das Integral $$ int {frac{{dx}}{{left( {a - x} right)left( {b - x} right)}}} $$ 103. - Die bimolekulare, vollständig verlaufende Reaktion 104. - Einschaltung über die Ermittlung unbestimmter Werte von der Form, $$ frac{0}{0},frac{infty }{infty }$$, - 0 ?, ? - ? 105. - Beispiel für Partialbruchzerlegung. Wiedervereinigung der Gasionen 108. - Die Autokatalyse unimolekularer Reaktionen 109..- Das bestimmte Integral.- Begriff des bestimmten Integrals 111. - Rechenbeispiele 114. Praktische Anwendungen: Berechnung von Weg, Arbeit, Potential, kinetischer Energie; Arbeit bei der isothermen Gaskompression; Barometerformal; Unimolekulare Reaktion 115. - Flächeninhaltsbestimmung 118. - Beispiele für Flächeninhaltsberechnungen: Rechteck; Rechtwinkliges Dreieck; Kreis; Ellipse; Parabelsegment 120. - Deutung von bestimmten Integralen als Fläche 122. - Beispiele: Der Weg im Zeit-Geschwindigkeit-Schaubild; die Arbeit im Kraft-Weg-Schaubild; Arbeit im Druck-Volum-Schaubild 122. - Kreisprozeß 125: - Vorzeichen der Arbeit 126. Der Carnotsche Kreisprozeß 126. - Weiteres über Flächeninhaltsermittlung 128. - Die Differentiation eines bestimmten Integrals nach seinen Grenzen 129. - Rechenregeln bei geraden und ungeraden Funktionen 129. - Mittlere Stromstärke 130. - Mittlere Ordinate einer Kurve = Mittelwert einer Funktion 131. - Galvanometrischer Mittelwert Jg der Stromstärke 132. - Der effektive Mittelwert der Stromstärke Jeff 133. - Der Mittelwert des elektrischen Momentes von Dipolen, ein Beispiel für die statistische Methode in den Naturwissenschaften 134. - Angenäherte Integration: Trapezformel; Stirlings Näherungsformel für N !; Simpsons Regel 137. - Näherungswert von $$ intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sin {text{ }}x{text{ }}d{text{ }}x} $$ 141. - Verwendung von Simpsons Regel in der chemischen Kinetik 142. - Wiederholte Integration 143. - Doppelintegral 144. - Berechnung der Wahrscheinlichkeitsintegrale. Anwendung auf Maxwells Geschwindigkeitsverteilungsgesetz 145. Berechnung eines Trägheitsmomentes 148..- Etwas über Reihen.- Konvergenz 150. - Kriterium der Konvergenz. Die unendliche geometrische Reihe 150. - Reihe von Mac Laurin 153. - Reihe für ex 154. - Reihen für sin x und cos x 156. - eix = cos x + i sin x. Eulersche Formel 157. - Die Reihe von Taylor 158. - Die Reihe für ln x 159. Die binomische Reihe 160. - Integration durch unendliche Reihen 161..- Bedingungen für die Differenzierbarkeit einer Funktion.- Stetigkeit 163. - Knickstellen 168. - Differenzierbarkeit 169. - Eindeutigkeit 170. - Analytische Funktionen 170..- Zweiter Teil. Funktionen mehrerer Veränderlichen.- Funktionen zweier Veränderlichen.- Der partielle Differentialquotient 171. - Beispiele 171. - Partielles und totales Differential 174. - Einfluß von Meßfehlern auf das Resultat, Beispiele 175. - Unentwickeltes Differenzieren 176. - Beispiele 177. - Die höheren partiellen Differentialquotienten. - Beispiele: Berechnung der Konstanten von Van Der Waals Gleichung aus den kritischen Daten; die Differentialgleichung der schwingenden Saite 177. - Satz von Schwarz $$ frac{{{partial ^2}fleft( {x,y} right)}}{{partial ypartial x}} = frac{{{partial ^2}fleft( {x,y} right)}}{{partial xpartial y}}$$ 179. - Vollständiges und unvollständiges Differential 180. - Beispiele 181. - Das Kurvenintegral 182. - Der integrierende Faktor 184. - Anwendung der Bedingung $$ frac{{{partial ^2}fleft( {x,y} right)}}{{partial ypartial x}} = frac{{{partial ^2}fleft( {x,y} right)}}{{partial xpartial y}}$$ in der Thermodynamik; Die Entropie 185. - Beispiele: Berechnung der Differenz der spezifischen Wärmen eines homogenen Körpers 188. - Die Formel von Clausius-Clapeyron 189. - Anwendungen der Formel von Clausius-Clapeyron: Dampfdruckkurve; Siedepunktserhöhung 190..- Funktionen von drei Veränderlichen.- Kriterium für ein exaktes Differential 192. - Beispiele: Potential und Feldstärke, Die Laplacesche Ableitung; Relativer Fehler bei Messung der JouLEschen Wärme 193..- Fu nktionen von n Veränderlichen. Superposition kleiner Wirkungen, Methode der kleinsten Quadrate. Die partiellen molaren Eigenschaften.- Dritter Teil. Differentialgleichungen.- Einteilung.- Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.- Die exakte Differentialgleichung erster Ordnung 199. - Die nicht exakte Differentialgleichung erster Ordnung: $$ frac{{dy}}{{dx}} + {X_1}y = {X_2}$$ 202. - Das Poiseuillesche AusfluBgesetz 203 - Weitere Anwendungen der Differentialgleichung $$ frac{{dx}}{{dy}} + {X_1}y = {X_2}$$ 206..- Die gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung$$ frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + 2Pfrac{{dy}}{{dx}} + Qy = 0 $$.- Lösung durch einen Ansatz 207. - Beispiele: Elastische Schwingungen; Torsionsschwingungen; das mathematische Pendel; Elektrische Schwingungen 209..- Simultane (gleichzeitige) Differentialgleichungen.- Partielle Differentialgleichungen.- Die Differentialgleichung$$ frac{{{partial ^2}y}}{{partial {t^2}}} = {c^2}frac{{{partial ^2}y}}{{partial {x^2}}}$$ 216. - Saitenschwingungen 216 - Die Maxwellschem Gleichungen 217. - Die an zwei Punkten geklemmte Saite. Eigenwerte. Eigenfunktion 218. - Schrödingers Gleichung 219..- Algebra.- Allgemeine Rechenregeln 221. - Spezielle Rechenregeln 222. - Imaginäre und komplexe Zahlen 226. - Bestimmungsgleichungen 228. - Logarithmen 233. - Reihen 237. - Wahrscheinlichkeitsrechnung 238. Näherungsformeln 250. - Interpolation und Extrapolation 251. - Maße und Dimensionen 254. Einiges über Fonniens Reihen 259..- Geometrie.- Formeln zur Planimetrie 271 - Formeln zur Stereometrie 273. - Winkelfunktionen 275. - Zyklometrische Funktionen, Umkehrfunktionen, Monotonie, Eindeutigkeit 280. - Hyperbelfunktionen 283. - Analytische Geometrie 283. - Transformationen des Koordinatensystems 287. - Räumliche Koordinaten 289..- Namen- und Sachverzeichnis.